Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) và các bài tập liên quan

1. Giới thiệu

Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) là một trong những bất đẳng thức quan trọng nhất trong toán học. Nó có nhiều ứng dụng trong các bài toán đại số, giải tích và hình học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về lý thuyết, công thức và một số bài tập áp dụng bất đẳng thức Côsi.

2. Lý thuyết và Công thức

1. Định nghĩa

$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \cdots \cdot x_n}$

Bất đẳng thức này phát biểu rằng đối với bất kỳ tập hợp các số thực không âm $x_1, x_2, \ldots, x_n$, trung bình cộng luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân. Toán học, bất đẳng thức này có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$

2. Các bất đẳng thức hệ quả

$x^2 + y^2 \geq 2xy$

$x^2 + y^2 - xy \geq \frac{3(x + y)^2}{4}$

$x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx$

$\left( \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \right)^n \geq x_1 \cdot x_2 \cdot \cdots \cdot x_n$

3. Các Ví Dụ Minh Họa

Câu 1: Chứng minh rằng với $a,b,c$ là số thực không âm thì $(a+b+c)(ab+bc+ca) >= 9abc$

Lời giải

Từ bất đẳng thức Côsi ta có:

$\frac{a + b + c}{3} \geq (abc)^{\frac{1}{3}}$ (1)

$\frac{ab + bc + ca}{3} \geq (ab \cdot bc \cdot ca)^{\frac{1}{3}}$ (2)

Nhân vế theo vế (1) và (2) ta có

$\frac{a + b + c}{3} \times \frac{ab + bc + ca}{3} \geq (abc)^{\frac{1}{3}} (ab \cdot bc \cdot ca)^{\frac{1}{3}}$

Rút gọn biểu thức ta có bất đẳng thức được chứng minh

$\Rightarrow (a + b + c)(ab + bc + ca) \geq 9abc$

Câu 2: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng $8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)$

Lời giải

Từ bất đẳng thức Côsi ta có:

$(a + b)(b + c) \leq \left(\frac{(a + b) + (b + c)}{2}\right)^2 = \left(\frac{3 + a}{2}\right)^2 = \frac{(3 + a)^2}{4}$ (1)

Tương tự ta có:

$(b + c)(c + a) \leq \frac{(3 + c)^2}{4}$ (2)

$(c + a)(a + b) \leq \frac{(3 + a)^2}{4}$ (3)

Nhân vế theo vế (1),(2) và (3) ta có

$[(a + b)(b + c)(c + a)]^2 \leq 64\left[\left(\frac{(3 + a)}{2}\right)\left(\frac{(3 + b)}{2}\right)\left(\frac{(3 + c)}{2}\right)\right]^2$

Rút gọn biểu thức ta có bất đẳng thức được chứng minh

$\Rightarrow 8(a + b)(b + c)(c + a) \leq (3 + a)(3 + b)(3 + c)$

4. Bài Tập Luyện Tập

Câu 1: Cho $a \geq 3$, Chứng minh $S = a + \frac{1}{a} \geq \frac{10}{3}$

Câu 2: Cho $a,b,c > 0$ và $a+b+c \leq \frac{3}{2}$. Chứng minh rằng: $S = \sqrt{a^2 + \frac{1}{b^2}} + \sqrt{b^2 + \frac{1}{c^2}} + \sqrt{c^2 + \frac{1}{a^2}} \geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$

Câu 3: Cho $x,y,z$ là ba số thực dương và $x + y + z \leq 1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{x^2 + \frac{1}{y^2}} + \sqrt{y^2 + \frac{1}{z^2}} + \sqrt{z^2 + \frac{1}{x^2}} \geq \sqrt{82}$

5. Kết Luận

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ hơn về bất đẳng thức Côsi và cách áp dụng nó trong các bài toán. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này. Mathfine cung cấp hệ thống bài tập đa dạng được giải đáp rõ ràng. Các bạn có thể tìm kiếm các bài tập về bất đẳng thức ở Đây!